המקל שמדד את כדור הארץ
לפני 2,200 שנה — בלי לוויינים, בלי מטוסים, בלי מחשבון — איש אחד במצרים מדד את כל כדור הארץ. הציוד שלו: מקל, צל, וקצת חשיבה גאונית. היום תעשו את זה בעצמכם.
לפני שמתחילים — נחשו!
כמה קילומטרים צריך ללכת כדי להקיף את כל כדור הארץ, מסביב־מסביב? גררו וקבעו ניחוש. נגלה בסוף מי היה קרוב.
מי לומד עכשיו?
רגע — איך ידעו בכלל שהעולם עגול?
היוונים לפני 2,300 שנה לא ראו תמונה מהחלל. אבל הם שמו לב לדבר מוזר בים: כשספינה מתרחקת, היא לא נעלמת בבת אחת ולא נהיית סתם נקודה. קודם נעלם הגוף שלה — ורק אחר כך המפרש. כאילו היא יורדת מאחורי גבעה.
נסו בעצמכם: שלחו ספינה
בעולם שטוח הספינה רק הולכת וקטנה. עכשיו עברו ל"עולם עגול" ושלחו שוב.
עוד רמז: בליקוי ירח, הצל של כדור הארץ על הירח תמיד עגול. צלחת שטוחה הייתה מטילה לפעמים צל דק כמו קו. רק כדור מטיל צל עגול מכל כיוון. אז: כדור. אבל כמה גדול?
הבאר שהסתירה סוד
אֶרָטוֹסְתֶנֶס (Eratosthenes) היה מנהל הספרייה הגדולה של אלכסנדריה — הספרייה הכי גדולה בעולם העתיק. יום אחד הוא קרא בכתב יד ישן משהו מוזר:
בעיר סְיֶינֶה (היום: אָסְוָאן), רחוק בדרום מצרים, יש באר עמוקה. ביום הארוך בשנה — 21 ביוני — בדיוק בצהריים, השמש מאירה את קרקעית הבאר. אין צל בכלל. השמש נמצאת בדיוק, אבל בדיוק, מעל הראש.
ארטוסתנס חשב: מעניין. כי באלכסנדריה, באותו יום ובאותה שעה בדיוק, למקל שנועץ באדמה יש צל. קטן — אבל יש.
למה?! אם השמש בדיוק מעל הראש בסיינה, למה היא לא בדיוק מעל הראש גם באלכסנדריה?
שני מקלות, שמש אחת
שתי הערים, אותו רגע, אותה שמש. גררו את המחוון ושנו כמה כדור הארץ "עקום" — ותראו מה קורה לצללים.
(במציאות זווית הצל באלכסנדריה הייתה קטנה בהרבה — 7.2° — כי שתי הערים קרובות יחסית לגודל של כדור הארץ. כאן הגדלנו כדי שתראו טוב.)
פיצה של 50 משולשים
ארטוסתנס מדד את זווית הצל באלכסנדריה: 7.2 מעלות. מספר קטן. אבל הנה הקסם: מעגל שלם הוא 360 מעלות. אז כמה משולשים של 7.2° נכנסים בפיצה שלמה?
אז מה עושים עם 50 משולשים?
המרחק בין אלכסנדריה לסיינה הוא בערך 800 ק״מ. זה משולש אחד מהפיצה. כדי לדעת כמה גדולה כל הפיצה — צריך 50 כאלה. לחץ והוסף משולשים:
עכשיו את ארטוסתנס. חשבי:
המרחק בין אלכסנדריה לסיינה הוא בערך 800 ק״מ, וזה בדיוק משולש אחד מהפיצה. שלב ראשון — כמה משולשים יש בפיצה?
האנשים שספרו צעדים
רגע. איך ארטוסתנס ידע שהמרחק בין הערים הוא 800 ק״מ? לא היו מכוניות, ולא היה ווייז. התשובה: הוא שילם לאנשים שילכו. במצרים העתיקה היו אנשי מקצוע שנקראו בֶּמָטִיסְטִים — סופרי צעדים. הם התאמנו שנים ללכת בצעדים בגודל קבוע לחלוטין, וספרו כל צעד לאורך הדרך.
כמה צעדים זה בשבילכם?
ובלי לטעות בספירה. אפילו פעם אחת.
למה זה בכלל עובד? סוד הקרניים המקבילות
כל השיטה עומדת על רעיון אחד שקט: קרני השמש שמגיעות לסיינה ולאלכסנדריה מקבילות — מגיעות מאותו כיוון בדיוק. למה? כי השמש רחוקה מאוד: 150,000,000 ק״מ. כשמקור האור רחוק כל כך, ההבדל בין הקרן שמגיעה לעיר אחת לקרן שמגיעה לעיר השנייה הוא אפסי. ואם השמש הייתה קרובה? נסי:
אתגר (לא חובה — למי שרוצה עוד)— , זה בשבילך
1. כמה ארטוסתנס באמת פספס? הוא קיבל 250,000 סטדיון. אם סטדיון אחד היה 157.5 מטר, מה ההיקף שלו בקילומטרים? (250,000 × 157.5 מטר, ואז ÷ 1,000.) והמציאות: 40,075 ק״מ — בכמה אחוזים הוא פספס?
2. שאלה למחשבה: למה חשוב ששתי הערים יהיו בערך על אותו קו אורך (אחת בדיוק צפונית לשנייה)? מה היה קורה לחישוב אם אלכסנדריה הייתה גם 500 ק״מ מזרחה?
הרמז והתשובה
המרחק שצריך בנוסחה הוא המרחק צפון–דרום בלבד — כי הזווית שמדדנו היא הזווית בין שני קווי רוחב. אם אלכסנדריה הייתה גם מזרחה, המרחק בין הערים היה גדול יותר מהמרחק הצפון–דרום, והחישוב 50 × מרחק היה נותן היקף גדול מדי. ארטוסתנס ידע זאת — והניח (כמעט נכון) שסיינה נמצאת בדיוק דרומית לאלכסנדריה.
נסה בבית: מדידה עם מקל, בדיוק כמו ארטוסתנס
אתה לא צריך באר במצרים. אתה צריך מקל ישר, יום שמש, וסרט מידה.
המשימה (5 דקות בחוץ)
1. בצהריים, כשהשמש הכי גבוהה (בישראל בסביבות 12:30), נעץ מקל ישר באדמה — ישר לגמרי.
2. מדוד את גובה המקל מעל האדמה. למשל: 30 ס״מ.
3. מדוד את אורך הצל שלו על האדמה.
4. הכנס את המספרים למכשיר למטה — והוא יגיד לך באיזו זווית השמש נמצאת!
מחשבון הצל
השבוע, בצהריים בתל אביב, למקל של 30 ס״מ יהיה צל של בערך 15 ס״מ. ב־21 ביוני הצל היה רק כ־5 ס״מ, כי בקיץ השמש גבוהה יותר. ובסיינה ב־21 ביוני? אפס.
איפה עוד מסתתר הרעיון הזה?
המיקום שלכם הוא זווית
"קו רוחב" הוא בעצם הזווית שארטוסתנס מדד. אלכסנדריה: 31°. תל אביב: 32°. כמעט אותה זווית — ולכן הצל שלנו בצהריים דומה מאוד לצל של ארטוסתנס.
מנהרות שנפגשות באמצע
כשחופרים מנהרה משני צדדים של הר — כמו במנהרות הכרמל — הצוותים לא רואים זה את זה. הם נפגשים באמצע עם אותם כלים: זוויות ומרחקים.
מהמקל אל הירח
עם אותו טריק של צל — הצל של כדור הארץ על הירח בליקוי — היוונים העריכו גם את גודל הירח. והלוויינים של היום? עדיין עושים גאומטריה.
"בֵּטָא"
חבריו של ארטוסתנס קראו לו "בטא" — האות השנייה ביוונית — כי הוא היה השני־הכי־טוב בעולם בכל דבר: מתמטיקה, גאוגרפיה, שירה, מוזיקה. ואת המילה "גאוגרפיה"? הוא המציא.
בונוס (2 דקות): המסננת של ארטוסתנס — משחק מספרים ראשוניים
ארטוסתנס המציא גם טריק למציאת מספרים ראשוניים (מספרים שמתחלקים רק ב־1 ובעצמם). לחצו על המספר הקטן ביותר שעוד לא צבוע — הוא ראשוני (ירוק), וכל הכפולות שלו ייצבעו באפור. כמה ראשוניים תמצאו?
בואו נראה מה נשאר בראש
ארבע שאלות, סידור אחד, חישוב אחד — ובסוף אתם המורים. על כל שאלה תקבלו מיד הסבר.
כל הכבוד!
הסיסמה הסודית של היום
הנקודות שלי
+0 XP היום
הרצף שלי
תגים שזכית בהם היום
הניחוש מול המציאות
3 דברים לספר בארוחת ערב
1. לפני 2,200 שנה מדדו את כל כדור הארץ עם מקל וצל — ופספסו רק בכמה אחוזים.
2. המרחק בין הערים נמדד על ידי אנשים שספרו כל צעד לאורך 800 ק״מ.
3. קו הרוחב של תל אביב (32°) כמעט זהה לזה של אלכסנדריה — הצל שלנו בצהריים דומה מאוד לצל של ארטוסתנס.
למבוגרים: מקורות ודיוק
הסיפור המקובל על הבאר בסיינה והמדידה של ארטוסתנס מגיע בעיקר מקליאומדס (Cleomedes, "על תנועת גרמי השמיים"). הנתונים: זווית של 1/50 מעגל (7.2°), מרחק של 5,000 סטדיון, היקף 250,000 סטדיון (ויש גרסאות עם 252,000). התרגום לקילומטרים תלוי באורך הסטדיון (157.5 מ׳ או ~185 מ׳), ומכאן סטייה של 1%–16% מההיקף האמיתי (40,075 ק״מ בקו המשווה, 40,008 ק״מ דרך הקטבים). הבמטיסטים כמדידת המרחק — ההסבר המקובל, אך לא ודאי. גודל הירח: אריסטרכוס העריך כשליש מכדור הארץ; הערך המדויק כרבע. מקורות להעמקה: Wikipedia — Eratosthenes; Britannica — Eratosthenes; NASA Earth Fact Sheet. חישובי הצל לתל אביב (32.08°N): נטיית השמש בקיץ 23.4° → זווית זניט 9.1° בצהרי 21 ביוני (צל ≈ 5 ס״מ למקל 30 ס״מ); בתחילת ספטמבר כ־26° (≈ 15 ס״מ).